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عام
Semestre 5
Unité d’enseignement : Fondamentale.
Matière : Mesure et Intégration.
Crédits : 6.
Coefficient : 4.
Objectifs de l’enseignement : Faire découvrir à l’étudiant une nouvelle théorie qui est la théorie de la mesure ainsi que son application aux probabilités, le plaçant dans un nouveau contexte d’espaces qui sont les espaces mesurés, par suite une large théorie d’intégration est définie, en particulier celle de Lebesgue, lui permettant de se familiariser avec les grands résultats de l’intégration tels le Théorème de la convergence dominée et les théorèmes de Fubini.
Connaissances préalables recommandées : Algèbre 1 et 2, Topologie.
Chapitre 1 : Tribus et Mesures.
Introduction à la théorie de la mesure.
Historiquement, comme l'indique le nom, le but de cette théorie est de mesurer des ensembles. Sans s'en rendre compte, plusieurs types de mesures ont été rencontrées, telle que
- Le cardinal d'un ensemble discret.
- L'aire d'une figure plane.
- Le volume d'un solide en dimension 3.
- La probabilité d'un évènement.
Ces mesures sont des cas particuliers d'une notion plus générale de mesure, qui est l'outil de base pour une nouvelle théorie de l'intégration, dite intégrale de Lebesgue (1902). Elle généralise la notion déjà vu de l'intégration de Riemann. Cependant, cette nouvelle théorie
1- s'applique à une classe de fonctions plus grande (les fonctions mesurables).
2- a des théorèmes de convergence plus forts que le convergence uniforme : le Théorème de convergence monotone et le Théorème de convergence dominée, pour avoir des résultats du type
ou
3- traite sans difficulté des intégrales multiples (Théorème de Fubini-Tonelli et de Fubini).
4- unifie les différentes façons de mesurer.
Chapitre 2 : Fonctions Mesurables.
Les fonctions mesurables sont les fonctions de bases en théorie de la mesure. Il s'agit de fonctions qui se comportent convenablement par rapport à des tribus sur les espaces sur lesquelles elles sont définies. La notion de la mesurabilité est extrêmement flexible et se conserve par la plupart des opérations usuelles sur les fonctions.
Chapitre 3: Fonctions Intégrables.
On commence dans ce chapitre à construire l'intégrale de fonctions par rapport à une mesure abstraite μ. Cette nouvelle intégrale est dite intégrale de Lebesgue. Pour cela, on étudie d'abord les intégrales de fonctions mesurables positives. La construction ce cette nouvelle intégration suit un chemin classique, analogue à celle de l'intégrale de Riemann, où on a commencé par la définir pour les fonctions en escaliers puis on a généralisé pour une classe de fonctions plus grande.
Chapitre 4 : Produit d'espaces mesurés.
Dans ce chapitre on considère des intégrales sur des espaces produits, définissant ainsi des intégrales multiples. Pour intégrer sur un espace produit, il est nécessaire de définir une tribu sur cet espace, la plus naturelle est la tribu produit. Sur cette tribu on introduit la mesure produit. Les intégrales sur des espaces produit se ramènent à des intégrales simples grâce aux Théorèmes de Fubini.