Mesure et intégration

Introduction à la théorie de la mesure.

    Historiquement, comme l'indique le nom, le but de cette théorie est de mesurer des ensembles. Sans s'en rendre compte, plusieurs types de mesures ont été rencontrées, telle que

    - Le cardinal d'un ensemble discret.

    - L'aire d'une figure plane.

    - Le volume d'un solide en dimension 3.

    - La probabilité d'un évènement.

Ces mesures sont des cas particuliers d'une notion plus générale de mesure, qui est l'outil de base pour une nouvelle théorie de l'intégration, dite intégrale de Lebesgue (1902). Elle généralise la notion déjà vu de l'intégration de Riemann. Cependant, cette nouvelle théorie

    1- s'applique à une classe de fonctions plus grande (les fonctions mesurables).

    2- a des théorèmes de convergence plus forts que le convergence uniforme : le Théorème de convergence monotone et le Théorème de convergence dominée, pour avoir des résultats du type

ou

    3- traite sans difficulté des intégrales multiples (Théorème de Fubini-Tonelli et de Fubini).

    4- unifie les différentes façons de mesurer.