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Calcul des probabilités- Rappel
L'objectif de ce cours est de donner un aspect général sur la théorie des processus stochastiques, dont les prérequis sont des probabilités de base. Partant des notions de bas de la théorie des probabilités, une place importante a été accordée à la théorie de mesure, on met l'accent sur le fait que la probabilité est la mesure du hasard!.
La théorie des probabilités constitue un cadre mathématique pour la description du hasard et de la variabilité, ainsi que pour le raisonnement en univers incertain.Selon Le mathématicien D. Castelle ( dans son livre :les chemins de l'aléatoire), la théorie mathématique des probabilités est la science du hasard ! Elle forme un tout cohérent dont les concepts, les méthodes et les résultats interviennent dans de très nombreux domaines des sciences et des technologies, parfois de manière fondamentale.L'histoire des probabilités a commencé avec celle des jeux de hasard. Bien que quelques calculs des probabilités soient apparus dans des applications précises au Moyen âge.
L'essentiel de la Théorie de mesure
La théorie de la mesure est l'outil utilisè pour modéliser le hasard!.
Processus stochastiques
On donne l'aspect général de la théorie des processus aléatoires comme généralisation des vecteurs aléatoires dans le cadre de dimension infinie, des exemples sur ces processus sont étudiés.On vous propose une promenade dans l'histoire avec l'un des célèbres processus appelé, mouvement brownien. En se basant sur ce processus, des études approfondies des phénomènes aléatoires sont réalisées, elles ont permis des progrès dans le domaine des probabilités avancées et ses nombreuses applications.Chaînes de Markov
Les processus de Markov portent le nom de leur inventeur le mathématicien russe, Andreï Markov. (1856-1922). Markov a publié les premiers résultats sur les chaînes de Markov à espace d'états fini en 1906. Une généralisation à un espace d'états infini dénombrable a été publiée par Kolmogorov en 1936.
Un processus de Markov est un processus stochastique possédant la propriété de Markov: l'information utile pour la prédiction du futur est totalement contenue dans l'état présent du processus et n'est pas dépendante des états antérieurs.
Une chaîne de Markov est un processus de Markov à temps discret, ou à temps continu et à espace d'états discret.
Les chaînes de Markov jouent un grand rôle à la fois dans la théorie et dans les applications, et ont fait l'objet de développements considérables depuis leur introduction. elles ont plusieurs applications: sciences de la vie (génétique, modèles d'épidémie), finance (les cours de la bourse), théorie du signal (problèmes de filtrage, de prédiction), traitement d'image, informatique (files d'attente dans les réseaux)...etc.